Okay, dann hallo zusammen und willkommen zur heutigen Mehrkörperdynamik Vorlesung.

Wir werden jetzt heute das Kinematikkapitel abschließen und dann zur Kinetik kommen.

Vorher gehen wir nochmal ganz kurz durch, womit wir uns bei dem Kinematikkapitel zuletzt beschäftigt hatten.

Es ging nämlich um die Frage, wie man Drehungen repräsentieren kann.

Und dann haben wir uns unterhalten über die Formulierung mit dem sogenannten Drehzeiger.

Das heißt, wir hatten hier einen Einheitsvektor, der repräsentiert die Drehachse

und einen Winkelbetter, der repräsentiert den Drehwinkel.

Und damit kann man eben eine Drehung beschreiben.

Also der starre Körper hier in Schwarz dreht sich um die Achse im Sinne von der rechten Handregel in die positive Drehrichtung.

Dann also darüber in diese gedrehte Ausgangslage, die in, gedrehte Endlage, die in blau gezeichnet ist.

Dann hatten wir das Bild mit der komplizierten Geometrie genutzt, um die Rodriguez-Formel herzuleiten.

Das heißt, bei der Rodriguez-Formel haben wir dann aus dem Drehzeiger und dem Drehwinkel eine Rotationsmatrix bestimmt.

Okay, wir haben uns klar gemacht, dass dieser Zusammenhang nicht eindeutig ist,

denn man kann mit verschiedenen Drehzeigern die gleichen Drehungen bekommen.

Also die gleiche Drehung von der schwarzen Anfangs in die blaue Endlage kriegt man mit u und beta oder auch mit minus u und minus beta.

Das heißt also, das Ganze ist nicht eindeutig und das macht dann auch Probleme bei der sogenannten Invertierbarkeit.

Wenn wir jetzt aus der Drehmatrix den Drehzeiger bestimmen wollen, dann gibt es ja offensichtlich mehrere Möglichkeiten.

Mehrere Drehzeiger, die dieselbe Drehmatrix repräsentieren können und das bringt dann Uneindeutigkeit, sage ich mal.

Trotzdem ist es bei dem Drehzeiger noch ein bisschen einfacher als bei anderen Möglichkeiten, die wir gleich angucken, wo auch Singularitäten auftreten.

Okay, wir hatten uns mit der sogenannten passiven und aktiven Interpretation der Drehung kurz auseinandergesetzt.

Das heißt, wir haben gesagt, passiv bedeutet, man hat eigentlich einen physikalischen Vektor und stellt den in unterschiedlichen Koordinatensystemen dar.

Das hatten wir ja mit dieser Transformationsmatrix bisher gemacht.

Aktive Drehung heißt, man dreht den wirklich von R0 in R1, behält das Koordinatensystem bei und hat dann eben hier diese Drehmatrix.

Das Ganze läuft jetzt darauf hinaus, dass eben diese beiden Matrizen gleich sind.

Die Transformationsmatrix T01 ist gleich der Drehung von R0 in R1 hier ausgedrückt im Koordinatensystem Nummer 0.

Dann sind diese beiden Matrizen also gleich.

Diese Drehmatrix hier ist halt Rodrigues Formel angewandt auf den Drehzeiger, der dann auch im Koordinatensystem Nummer 0 dargestellt sein muss.

Das hier war einfach ein Beispiel, wo wir mal so eine Drehachse haben, die irgendwie im Raum liegt.

Die ist diagonal hier im Raum, Einheitslänge, und dann wurde um zwei Drittel Pi gedreht und dann kommt eben ein Körper von dieser in diese Endlage.

Die Eckpunkte bewegen sich immer auf Kreisbahnen in einer Ebene mit der senkrechten, hier eben gerade der Drehachse.

An dem Bild haben wir uns klar gemacht, dass im dreidimensionalen Rotationen nicht kommutativ sind, also die Hinten-einander-Ausführung.

Dafür ist die Reihenfolge entscheidend.

Wenn wir dieselben Rotationen aber in unterschiedlicher Reihenfolge ausführen, kommen wir zu unterschiedlichen Endlagen.

Das ist auf diesen Bildern hier oben und hier unten da klar gemacht.

Dann muss man sich bei der Hinten-einander-Ausführung von Drehungen auch immer klar machen, ob man um mitgedrehte oder um Ausgangsachsen die Drehungen ausführt.

Denn das führt dann wiederum auch zu unterschiedlichen Ergebnissen.

Bei diesen verschiedenen Arten von Eulerwinkeln, die wir gleich kurz durchgehen, ist halt genau das der Unterschied.

Dreht man um Ausgangs- oder um mitgedrehte Lagen.

Wir haben hier die gleichen Ausgangslagen.

Hier unten wird immer um Ausgangsachsen gedreht.

Wir haben einmal eine Drehung mit dem Drehzeiger U2, Winkelbeta2.

Das heißt, diese Achse bleibt gleich.

Der Stab geht in der Y, Z-Ebene um den Winkelbeta2 hoch.

Das mitgedrehte Koordinatensystem hat dann auch den Winkelbeta2.

Wenn wir anschließend eine Drehung um die Ausgangsachse U1 machen, dann ist es um die senkrechte Achse.

Die steht also immer noch senkrecht.

Insofern kriegen wir dann diese Endlage hier.

Dann können wir das Ganze aber anders machen.

Erstens ist hier oben eine Drehung um U1.

Jetzt haben wir eine Drehung um die mitgedrehte Achse U2.